Mathematisches Denken

[Zed]

Angesichts der Tatsache, dass viele hier ein zumindest oberflächliches Interesse an Mathematik haben und Mathematik hier desöfteren direkt oder indirekt angesprochen wird, habe ich mich dazu entschieden, dem Thema ein Thema zu geben.

Sinn dahinter ist, einen Einblick in mathematisches Denken zu geben.

Wer einen solchen Einblick haben will, wird natürlich bereits allerorts, vor allem im Netz, fündig, weswegen ich auch keine Hemmungen haben werde, manchmal lediglich auf andere Quellen zu verweisen und sie gegebenenfalls kurz zu rezensieren. Des Weiteren lade ich natürlich jeden ein, sowohl Fragen zu stellen wie auch eigene Einblicke zu geben oder sich anderweitig thematisch passend einzubringen.

Zunächst gebe ich eine kurze, abstrakte Einführung. Danach geht’s an konkrete Erläuterungen.

Was ist und soll mathematisches Denken?

Das Wort Mathematik wurzelt im Griechischen Verb “μανθάνω”, welches verstehen bedeutet und auch mit Lateinisch “mens” verwandt ist, siehe wiktionary/Mathematics#Etymology. Mathematik ist demnach die Lehre des Verstehens und Verstandenen.

Selbstverständlich ist diese Auffassung viel zu allgemein, um einzufangen, was heutzutage als Mathematik gilt; sie bleibt aber der Kern jeder weiteren Auffassung, nicht zuletzt weil sie bereits in sich Antworten auf die beiden bestimmenden Fragen Was sucht die Mathematik? und Wie sucht die Mathematik? beinhaltet: Die Mathematik sucht durch das Verstehen das Verstandene.

Die beiden bestimmenden Fragen sind anders gewandt die nach Stoff und Weise der Beschäftigung.

Inhaltlich wird Mathematik selbst auf Wikipedia als Lehre von Größe, Struktur, Raum und Wandel beschrieben, siehe wiki/Mathematics. Und dies ist eine wunderschöne und bereits ziemlich umfassende Antwort auf die Frage nach dem Stoff der Mathematik.

Die Antwort auf die Frage nach der Weise der Mathematik liegt im Begreifen und Erklären. Ein Sachverhalt ist verstanden, wenn er so tief begriffen worden ist, dass er erklärt werden kann. Das Erklären führt letztendlich zum mathematischen Beweisen, während das Begreifen letztendlich vom mathematischen Denken kommt. Die mathematische Erkenntnis ist das erklärbar Begriffene. Mathematische Erkenntnisse sind die heiligen Schätze der Mathematik.

Tatsächlich ist sekundär, was der Stoff der Mathematik ist. Primär ist die Weise der Mathematik: Wer schafft, mathematisch zu denken, um Erkenntnisse zu erlangen, und diese so tief begriffen hat, dass er sie erklären kann, betreibt Mathematik und macht dadurch die Inhalte seiner Gedanken zu mathematischem Stoff.

Mathematisches Denken ist also die Grundlage der Mathematik und soll zu mathematischen Erkenntnissen führen. Nur wie sieht sowas aus?


Übrigens muss nach dieser Ontologie nicht jede mathematische Erkenntnis beweisbar sein: Die Beweisbarkeit ist nur eine Anforderung, die wir an jene Erkenntnisse stellen, welche wir zum gesicherten Wissen zählen wollen. Der Beweis erfüllt drei Zwecke: Erstens macht er – in seiner Funktion als Erklärung – Erkenntnisse nachvollziehbar und dient damit ihrer Vermittlung. Zweitens sichert er je nach Grad seiner Formalität und Sorgfalt seiner Überprüfung die bewiesene Erkenntnis als Wissen. Drittens schärft er den Verstand des Beweisführenden und regt seinen Geist mitunter zu neuen Ideen an, die wiederum ihrerseits jenen zu neuen Erkenntnissen bringen können.

Beweise sind sehr wertvoll, aber nicht Essenz der Mathematik. Essenz ist die Erkenntnis.

Wie sieht mathematisches Denken aus?

Dies will ich nun hauptsächlich anhand von Beispielen erläutern. Ich denke, ich werde mich dazu vor allem möglichst allgemeinverständlicher Rätsel bedienen, von denen ich inzwischen ein paar kenne. Vielleicht werde ich außerdem noch hin und wieder theoretisch ausholen und in eher philosophischer Weise über mathematisches Denken reden. Wir werden sehen.

[Zed]

Du hast eine ganze Tafel Schokolade, die quadratisch, praktisch und gut ist. Sie besteht aus 4×4 einzelnen Stücken. Ohne zu versuchen, Teile über- oder nebeneinanderzulegen oder anderweitig zu mogeln: Wie und wie oft musst du die Schokolade brechen, um sie mit möglichst wenig Brüchen in all ihre 16 einzelnen Stücke zu zerlegen?

Hinweis.

Denk nicht darüber nach, wie du sie brechen musst. Wie oft musst du sie brechen?

Lösung.

Es ist egal, wie du sie brichst. Du musst sie 15 mal brechen.

Erklärung.

Mit jedem Bruch machst du aus einem Teil zwei und schaffst dadurch stets ein Teil mehr als zuvor: Pro Bruch ein neues Teil – nicht mehr und nicht weniger. Da du mit einem Teil, der ganzen Tafel, beginnst, musst du also dieses exakt 15 mal brechen, um auf 16 Teile zu kommen. Und sobald du 16 Teile hast, müssen sie alle aus einzelnen Stücken bestehen.

Damit musst du die Schokolade, ganz egal wie du sie brichst, stets exakt 15 mal brechen, um sie in alle 16 einzelnen Stücke zu zerlegen. Und ferner wirst sogar du immer, wenn du die Tafel 15 mal brichst, unabhängig davon, wie du sie brichst, sie stets in alle 16 einzelnen Stücke zerlegen.

Analyse.

Eine Antwort auf die erste Frage “Wie?” impliziert hier eine Antwort auf die zweite “Wie oft?”. Man ist daher versucht, die zweite Frage zunächst gänzlich zu ignorieren und nur über die erste nachzudenken. Tatsächlich ist aber die zweite Frage die grundlegendere. Und wäre das Rätsel ohne die zweite Frage gestellt, würde man also direkt auf einen Holzweg geschickt.

Oft also hilft es, statt der ursprünglichen Frage verwandte und möglicherweise einfachere Fragen zu stellen. Wenn der Prophet nicht zum Berg will, muss der Berg zum Propheten. Geh nicht davon aus, dass du direkt die richtigen Fragen stellst. Die Losung lautet: Variiere die Frage!

Interessant ist hier, dass die Form der Schokolade keine Rolle spielt. Wann immer du eine ganze Tafel Schokolade von n einzelnen Stücken hast, musst du sie n-1 mal brechen, um sie vollständig in ihre einzelnen Stücke zu zerlegen.

[Zed]

Gegeben sei ein quadratisches Brett von 8×8 gleichgroßen quadratischen Kacheln, bei denen aber zwei einander gegenüberliegende Eckkacheln entfernt worden sind. Insgesamt ist das Brett also in 8² - 2 = 62 Kacheln unterteilt. Ferner seien 31 Domino-Steine gegeben, die je genau so groß sind wie zwei aneinander liegende Kacheln auf dem Brett zusammen. Ist es möglich, das gesamte Brett von 62 Kacheln mit diesen 31 Domino-Steinen zu überdecken?

Hinweis.

Man stelle sich das Brett als Schachbrett vor.

Lösung.

Nein.

Erklärung.

Man stelle sich das Brett als Schachbrett vor. Auf einem Schachbrett sind 32 Kacheln schwarz und 32 Kacheln weiß. Außerdem haben je zwei einander gegenüberliegende Eckkacheln dieselbe Farbe: Beide sind schwarz oder beide sind weiß. Sagen wir, die auf unserem Brett entfernten Kacheln sind beide weiß gewesen. Dann sind auf unserem Brett 32 Kacheln schwarz und nur 30 weiß. Jeder gelegte Domino-Stein muss aber genau eine weiße und genau eine schwarze Kachel überdecken. Damit ist es also nicht möglich, verschieden viele weiße und schwarze Kacheln zu überdecken. Es geht also nicht.

Analyse.

Das Rätsel hätte man natürlich auch mit einem Brett von 6×6 oder 10×10 oder allgemein n×n Kacheln, wobei n eine gerade Zahl sei, stellen können. Dann hätte man zwar nicht so schnell an ein Schachbrett gedacht, aber der Lösungsweg bliebe derselbe.

Ohne die Assoziation zum Schachbrett ist man sofort dazu geneigt, konkrete Strategien, die Domino-Steine zu legen, auszuprobieren sowie jene irgendwie zu klassifizieren. All das ist natürlich zum Scheitern verurteilt: Denn nichts wird funktionieren. Wie aber zeigt man sowas?

Die Magie dieser Lösung besteht darin, dass man das Problem durch das Hinzufügen einer Struktur spezieller gemacht hat, ohne an Allgemeinheit zu verlieren, aber mit Gewinn einer neuen Perspektive. Wie ist das möglich? Es erinnert an das Einzeichnen von Hilfslinien bei geometrischen Problemen. Das Phänomen ist allgemeiner: Oft sieht man eine Lösung, wenn man auf ein Problem ein neues Licht werfen kann. Stets kann man sich also fragen: In welchem Licht kann ich das Problem sehen? Welchen Kontext kann ich dem Problem geben? Die Losung lautet: Variiere das Problem!

[Meerfelix]

ich möchte gern etwas mit nautrwissenschaftlicher konnotation studieren
ich habe erheblich defizite in mathematik
jetzt bin ich dabei die inhalte aufzuarbeiten
was mir grunsätzlich auffält ist, dass es bei mir in der mathematik öfter als in jeder anderen disziplin vorgekommen ist, dass ich die gleichen fehler wieder mache oder völlige blackouts habe was zu tun ist um die aufgabe zu lösen. desweiteren erlebe ich mich oft auf halber strecke die motivation verlieren. z.b. bei dem ersten rätsel dachte ich "das muss irgendwas mit wiederholungen zu tun haben - jaa das brechen könnte eine folge sein, die auf irgendetwas basiert und deshalb bestimmbar sein muss. dann folgten noch kurze blitze in meiner imagination über irgend ein "n"

ich wundere mich ob es überhaupt eine standarddenkweise gibt, um mathematische probleme zu lösen.
was mich grundsätzlich zu behindern scheint ist, der glaubenssatz, dass ich sobald ich über das problem nachdenke eigentlich meine imagination verschwende, weil all diese probleme schonmal gelöst worden sind.

[Ceesbe]

Ich hab gerade nicht viel Zeit, eine längere Antwort zu schreiben, weil ich morgen ausgerechnet eine Matheklausur schreibe Wollte aber nur kurz schreiben, dass ich den Thread sehr gut finde. Ich mag mathematisches Denken, auch wenn ich in Beweisführung leider unglaublich schlecht bin - was ich sehr schade finde. Daher: Danke.

[Ver366]

Du hast eine ganze Tafel Schokolade, die quadratisch, praktisch und gut ist. Sie besteht aus 4×4 einzelnen Stücken. Ohne zu versuchen, Teile übereinanderzulegen oder anderweitig zu mogeln: Wie und wie oft musst du die Schokolade brechen, um sie mit möglichst wenig Brüchen in all ihre 16 einzelnen Stücke zu zerlegen?

Ist es mogeln, sie dabei in der Packung zu lassen? In der Pakung brauche ich 6 Brüche. Falls es allerdings meine Lieblingsschokolade ist (dunkle Voll-Nuss ), ist es wahrscheinlich, dass sie in mehr Stücke zerbricht, wegen der Nüsse...

[Zed]

ich wundere mich ob es überhaupt eine standarddenkweise gibt, um mathematische probleme zu lösen.

Mathematiker haben durch eine Ansammlung von Herangehensweisen und Tricks eine gewisse Denke kultiviert, welche sich als erfolgreich erwiesen hat. Aber jede Herangehensweise, jeder Trick kann auch nur so weit reichen.

Mathematik macht sicherlich auch deutlich mehr Spaß, wenn man diese kultivierte Denke kennen gelernt hat. Wenn man dann von selbst nicht weiter kommt, kann man immer noch versuchen, diese Denke auszuprobieren.

Ich werde demnächst etwas zum Thema Standarddenkweisen schreiben.

was mich grundsätzlich zu behindern scheint ist, der glaubenssatz, dass ich sobald ich über das problem nachdenke eigentlich meine imagination verschwende, weil all diese probleme schonmal gelöst worden sind.

Imagination verschwendet man nicht, man übt sie. Du hast ja keinen Vorrat an Imagination. Außerdem kann man ja Freude am Lösen von Aufgaben finden. Das ist ein wenig, als erzählte jemand, dass er keine bekannten Lieder am Klavier spielen will, weil er das Gefühl hat, seine Musikalität zu verschwenden, weil all diese Lieder schon mal gespielt worden sind.

Nein, andersherum: Wer keine Lieder spielt, verschwendet seine Musikalität.

Ist es mogeln, sie dabei in der Packung zu lassen? In der Pakung brauche ich 6 Brüche.

Ja, das ist natürlich gemogelt. Das wäre die minimale Anzahl der Brüche, wenn Nebeneinanderlegen erlaubt wäre.

[Brot82]

Ist es mogeln, sie dabei in der Packung zu lassen? In der Pakung brauche ich 6 Brüche.

Ja, das ist natürlich gemogelt. Das wäre die minimale Anzahl der Brüche, wenn Nebeneinanderlegen erlaubt wäre.

Ne, ist das Minimum mit Nebeneinanderlegen nicht 4 Brüche?

Erst in der Mitte brechen. Es enstehen zwei 4x2-Teile. Man legt die Teile so, das ein 8x2-Teil entsteht. Bruch in der Mitte der kurzen Seite. Jetzt hat man vier 4x1-Teile. Die Teile wieder zu einem 4x4 anordnen und die ungebrochene Seite brechen. Jetzt hat man acht 2x1 Teile. Jetzt noch die alle hintereinanderlegen und alle mit einmal brechen. Voilá, sechzehn Teile in vier Brüchen!

[Zed]

Ist es mogeln, sie dabei in der Packung zu lassen? In der Pakung brauche ich 6 Brüche.

Ja, das ist natürlich gemogelt. Das wäre die minimale Anzahl der Brüche, wenn Nebeneinanderlegen erlaubt wäre.

Ne, ist das Minimum mit Nebeneinanderlegen nicht 4 Brüche?

Ja, ich meinte eigentlich nicht “Nebeneinanderlegen”, sondern eher so “Nebeneinanderlassen”. Es ist halt das Minimum, wenn man die Tafel in der Verpackung lässt und davon ausgeht, dass man durch die Verpackung hindurch brechen kann. Es ist die minimale Anzahl an Linien, die man zeichnen muss, um ein 4×4-Feld zu zeichnen.

[Meerfelix]

Imagination verschwendet man nicht, man übt sie.  

danke für deine antwort! ich stimme dir grundsätzlich zu: übung macht den meister.
bezüglich der immagination wundere ich mich schon manchmal ob sie nicht doch an einen vorrat gekoppelt ist. bze wieso sie manchmal so wie von selbst, ansehnlich und präzise funktioniert und manchmal überhaupt nicht reagiert.

[Katakan]

Toller thread. Ich freue mich auf die Vorsetzung. Und auf neue Rätsel. Bei der Schokolade hab ich noch verkackt weil ich im Kopf bei der Schummellösung geblieben bin und 6 für die richtige Antwort hielt. Beim Kachelbrett war der Hinweis dann schon die Lösung. Neue Denkweisen zu kultivieren und alte Denkmuster zu verlassen finde ich sehr spannend und nicht nur in der Mathematik äußert sinnvoll.

[Zed]

Gegeben seien fünf Eisenketten aus je drei Gliedern. Beim Schmied kostet es eine Silbermünze, ein Glied der Kette an einer Stelle aufbrechen zu lassen, und zwei Silbermünzen, ein gebrochenes Glied wieder zuschweißen zu lassen. Wie viele Silbermünzen benötigt man, um aus den fünf dreigliedrigen Eisenketten eine große fünfzehngliedrige Eisenkette zu machen?

Hinweis.

Wie viele Silbermünzen benötigt man, um aus drei losen Kettengliedern eine dreigliedrige Kette zu machen?

Lösung.

Neun. – Für den Hinweis: Drei.

Erklärung.

Man lasse alle drei Glieder von einer der fünf Eisenketten aufbrechen, füge diese drei als Bindeglieder für die verbleibenden vier Eisenketten je zwischen zweier dieser ein und lasse sie so wieder zuschweißen. Für diese drei Brüche und drei Schweißungen benötigt man neun Silbermünzen. Weniger ist nicht möglich: Jeder Bruch muss wieder zugeschweißt werden und jedes gebrochene Glied kann nur zwei Ketten durch Zuschweißung zu einer Kette binden, also können n gebrochene Glieder nur n+1 Ketten durch Zuschweißung zu einer Kette binden. Nach zwei Brüchen verbleiben aber immer mindestens fünf Ketten.

Analyse.

Die nächstliegende Vermutung ist zwölf: Man lege die fünf Ketten hintereinander, lasse bei den ersten vier Ketten jeweils das letzte Glied aufbrechen, dann das erste Glied der Folgekette einfügen und schließlich wieder zuschweißen. Dass man hier mit weniger auskommt, ist keineswegs selbstverständlich: Hätten die Eisenketten jeweils vier oder mehr Glieder, wäre dies nicht möglich, denn die Reduktion der Brüche und Schweißungen rührt von der vollständigen Auflösung einer Kette.

Der Gedanke, ein aufgebrochenes Glied zur Bindung zweier Ketten zu nutzen, ist auch nicht naheliegend: Das liegt wohl daran, dass man gierig und vorsichtig ist. Man ist geneigt, an Gutem festzuhalten, und schreckt davor zurück, bereits vorhandene Teillösungen zu zerstören. Wenn man ein Glied aufbricht, warum sollte man es aus beiden angebunden Ketten lösen? An einer Kette zumindest kann man es ja schon mal gebunden lassen, warum sich das kaputt machen? Manchmal hilft es, seine Gier, vor allem seine Vorsicht, zu überwinden.

Interessant ist auch, wie offensichtlich die Lösung wird, wenn man das Problem verkleinert. Bei drei losen Gliedern sieht man einfach, dass ein Bruch reicht, indem man ein Glied einfach an die anderen beiden bindet. Hieran sieht man, wie sehr es helfen kann, sich zunächst ein einfacheres Problem zu stellen. Die Losung lautet mal wieder: Variiere das Problem!, konkret aber: Vereinfache es!